Matemática discreta Ejemplos

$y = \frac{9}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{9}{x^{2} - 1} = y$ .

$\frac{9}{x^{2} - 1} = y$

Paso 2

Factoriza cada término.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{9}{x^{2} - 1^{2}} = y$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$

Paso 3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(x + 1) (x - 1), 1$

Paso 3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$(x + 1) (x - 1)$

Paso 4

Multiplica cada término en $\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$ por $(x + 1) (x - 1)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.1

Multiplica cada término en $\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} = y$ por $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = y ((x + 1) (x - 1))$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $(x + 1) (x - 1)$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = y ((x + 1) (x - 1))$

Paso 4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$9 = y ((x + 1) (x - 1))$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 = y (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Paso 4.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 = y (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Paso 4.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 = y (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Paso 4.3.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$9 = y (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Paso 4.3.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$9 = y (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Paso 4.3.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$9 = y (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$9 = y (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Paso 4.3.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$9 = y (x^{2} - x + x - 1)$

Paso 4.3.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$9 = y (x^{2} + 0 - 1)$

Paso 4.3.2.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$9 = y (x^{2} - 1)$

Paso 4.3.3

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 4.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 = y x^{2} + y \cdot - 1$

Paso 4.3.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$9 = y x^{2} - 1 \cdot y$

Paso 4.3.4

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$9 = y x^{2} - y$

Paso 5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $y x^{2} - y = 9$ .

$y x^{2} - y = 9$

Paso 5.2

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$y x^{2} = 9 + y$

Paso 5.3

Divide cada término en $y x^{2} = 9 + y$ por $y$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y x^{2} = 9 + y$ por $y$ .

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x^{2}}{y} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{9}{y} + \frac{y}{y}$

Paso 5.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} = \frac{9}{y} + 1$

Paso 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{y} + 1}$

Paso 5.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{9}{y} + 1}$ .

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Paso 5.5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{y} + \frac{y}{y}}$

Paso 5.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \pm \sqrt{\frac{9 + y}{y}}$

Paso 5.5.3

Reescribe $\sqrt{\frac{9 + y}{y}}$ como $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$

Paso 5.5.4

Multiplica $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Paso 5.5.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.5.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{9 + y}}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Paso 5.5.5.2

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Paso 5.5.5.3

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Paso 5.5.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Paso 5.5.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Paso 5.5.5.6

Reescribe ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

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Paso 5.5.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.5.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.5.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y^{1}}$

Paso 5.5.5.6.5

Simplifica.

$x = \pm \frac{\sqrt{9 + y} \sqrt{y}}{y}$

Paso 5.5.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{(9 + y) y}}{y}$

Paso 5.5.7

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(9 + y) y}}{y}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

Paso 5.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

Paso 5.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

Paso 5.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$

$x = - \frac{\sqrt{y (9 + y)}}{y}$